ガンマ関数 (gamma function)

ガンマ関数は次式 \[\Gamma(a)=\int_0^\infty e^{-t}t^{a-1}dt\]

  • Stirlingの近似式により積分を使わない式で近似できる.
  • \(\Gamma(1)=1\)で\(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\)から, \(n\)が自然数のときは\(\Gamma(n+1)=n!\)となる. よって,階乗を実数の場合に拡張したものともみなせる.
  • \(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)

積分の上限を引数 \(x\gt 0\) としたのが不完全ガンマ関数 \[\Gamma(x,a)=\int_0^x e^{-t}t^{a-1}dt\]

\(p\)次元の多変量ガンマ関数は \[\Gamma_p(x)=\pi^{\frac{p(p-1)}{4}}\prod_{j=1}^p\Gamma[x+\frac{1-j}{2}]\]

-- しましま

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:12:19 (2492d)