ルジャンドル変換 (Legendre transformation)

  • 二つの関数 \(f(x), g(y)\) があったとき,\(\partial f(x)/\partial x\) と \(\partial g(y)/\partial y\) が互いに逆関数になっているとき,x と y (あるいは f と g) の間の変換をルジャンドル変換という. \[y = \frac{\partial f(x)}{\partial x}, \ x = \frac{\partial g(y)}{\partial y}, \ f(x) + g(y) = x\cdot y\]
  • 情報幾何における双対座標の変換. 例えば指数分布族 \[\exp(\sum_i \theta^i F_i(x) - \psi(\theta))\] で,\(\eta_i = E[F_i(x)], \varphi(\eta) = \sum_i \theta^i\eta_i - \psi(\theta)\) とおけば, \[\eta_i = \frac{\partial \psi(\theta)}{\partial\theta^i}, \ \theta^i = \frac{\partial \varphi(\eta)}{\partial \eta_i}, \ \psi(\theta)+\varphi(\eta) = \sum_i \theta^i\eta_i\] というルジャンドル変換になっている.
  • 座標系 x, y が多様体上の座標系で,f(x), g(y) がルジャンドル変換のとき,多様体上の点 p, q について,p の x 座標を \(x_p\) などと書くと, \[B(p,q)=f(x_p)+g(y_q)-x_p \cdot y_q\] はBregmanダイバージェンスである. 実際, \(f(x_q)+g(y_q)-x_q\cdot y_q=0, \partial f(x_q)/\partial x=y_q\) を代入すると,定義式が得られる. \[B(p,q)=f(x_p)-f(x_q)-(x_p-x_q)\cdot \frac{\partial f(x_q)}{\partial x}\]
  • 解析力学におけるラグラジアンとハミルトニアンの変換. リーマン幾何的には接空間と余接空間の間の同型変換とみなせる. 多様体 \(M\) 上の点 \(q\) に対し,速度ベクトル \(\dot{q}\) は接空間 \(TM\) の元で,ラグラジアン \(L(q,\dot{q})\) のうち \(\dot{q}\) に依存する運動エネルギーの部分 \(\frac{1}{2}g(\dot{q},\dot{q})\) (ただし \(g\) は計量)は \(TM\times TM\to R\) だから,\(p=\partial L(\dot{q})/\partial \dot{q}=\frac{1}{2}\partial g(\dot{q},\dot{q})/\partial \dot{q}\) とおけば,これは,\(TM\to R\) という変換を定義しており, \(p\) は余接空間 \(TM^*\) の元である. さらにハミルトニアン \(H(q,p)=p\cdot \dot{q} - L(q,\dot{q})\) とすれば, \[p = \frac{\partial L(q, \dot{q})}{\partial \dot{q}}, \ \dot{q} = \frac{\partial H(q, p)}{\partial p}, \ L(q, \dot{q}) + H(q, p) = p\cdot \dot{q}\] というルジャンドル変換になっている.

--あかほ

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:12:33 (2491d)