三囚人問題 (three prisoners problem)

ベイズの定理の適用例として著名な問題.

  1. 囚人 A,B,C のうち二人がランダムに明日,処刑されるとする.
  2. 囚人Aが看守に,BとCのどちらかは必ず処刑されるので,処刑される一人はだれか尋ねた.
  3. すると看守はBは処刑されると答えた.
  4. 囚人Aは自分が処刑される確率は 1/2 になったと喜んだ

しかし,正しくは,囚人Aが処刑される確率は依然として 1/3 のままである.

  • 情報を聞く前の,各囚人が処刑されない事前確率はそれぞれ \(\Pr[A]=1/3\),\(\Pr[B]=1/3\),\(\Pr[C]=1/3\).
  • 処刑されない囚人が A, B, C であるときに,処刑されない囚人が b であると答える確率はそれぞれ \(\Pr[b|A]=1/2\),\(\Pr[b|B]=0\),\(\Pr[b|C]=1\).
  • すると,看守から情報を聞いたあとに A が処刑されない確率はベイズの定理から次式で求められる. \[\Pr[A|b]=\frac{\Pr[b|A]\Pr[A]}{\Pr[b|A]\Pr[A]+\Pr[b|B]\Pr[B]+\Pr[b|C]\Pr[C]}=\frac{1/2\times1/3}{1/2\times1/3+0\times1/3+1\times1/3}=\frac{1}{3}\] ここでは,C が処刑されない確率が 2/3 になっている.

-- しましま

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:12:37 (2494d)