三角不等式 (triangle inequality)

通常の三角不等式は,距離やノルムについて定義される.

距離関数 \(d(\mathbf{x},\mathbf{y})\) については \[d(\mathbf{x},\mathbf{y}){\le}d(\mathbf{x},\mathbf{z})+d(\mathbf{z},\mathbf{y})\] ノルムについては \[||\mathbf{x}+\mathbf{y}||\le||\mathbf{x}||+||\mathbf{y}||\] その他,一般の関数についても定義される. \[f(x,y)\le f(x,z)+f(z,y)\] 例えば,関数 \(f\) が 0/1損失 の損失関数などの場合に三角不等式は成立する

\(\alpha\ge0\) について, \(\alpha\)-三角不等式 (\(\alpha\)-triangle inequality) は次式で定義される. \[f(x,y)\le\alpha(f(x,z)+f(z,y))\] 上記の通常の不等式は1-三角不等式にあたる. 二乗損失 \(f(x,y)=(x-y)^2\) では通常の三角不等式が成立しないが,2-三角不等式なら成立する.

-- しましま

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:12:37 (2490d)