交換可能確率変数 (exchangeable random variable)

確率変数の有限系列 \(x_1,x_2,\ldots,x_N\) が交換可能であるとは,これらの変数の順序を入れ替えても,これらの変数の結合確率は変わらないこと.

形式的には,\(N\)個の要素の対称群上の任意の演算\(\pi\)について \[\Pr(x_1,\ldots,x_N)=\Pr(x_{\pi(1)},\ldots,x_{\pi(N)})\]

これは,独立同分布であることとは違う.ポリアの壺の例(文献1):白と黒の玉が壺に,最初はそれぞれ \(w\) と \(b\) 個ずつ入っている.i回目に引いた玉と同じ色の玉を\(n\)個を,引いた玉と共に戻す.この過程は明らかに独立同分布ではない. \[\Pr[B,B,W,B]=\frac{b}{b+w}\frac{b+n}{b+w+n}\frac{w}{b+w+2n}\frac{b+2n}{b+w+3n}=\frac{b}{b+w}\frac{w}{b+w+n}\frac{b+n}{b+w+2n}\frac{b+2n}{b+w+3n}=\Pr[B,W,B,B]\]

無限系列が交換可能であるとは,その系列の任意の有限部分系列が交換可能であること.

-- しましま

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:12:39 (2490d)