劣モジュラ (submodular)

離散最適化問題を解くとき,目的関数に劣モジュラ性があれば,多項式時間で解くことができる.

有限集合 \(V\) に対して,その任意の部分集合 \(X\subseteq V\) から実数への関数を \(f(X)\) とする.この関数が劣モジュラ関数であるとは,任意の部分集合 \(X,Y\subseteq V\) に対して次の性質があること: \[f(X)+f(Y)\ge f(X\cap Y)+f(X\cup Y)\] これは次の性質と等価 \[X\subseteq Y\subseteq V,\, x\in V\backslash Y,\;f(X\cup\{x\})-f(X)\ge f(Y\cup\{x\})-f(Y)\] 劣モジュラ関数を最小化する部分集合は,\(|V|\) の5〜6乗の多項式時間で解くことができる. さらに,\(f(X)=f(V\backslash X)\) が任意の \(X\subseteq V\) に成立する対称劣モジュラ関数であれば \(|V|\) の3乗で最小化できる.

クラスタリング(文献1),単純ベイズでの情報量ゲインを使った特徴選択(文献2)などに利用されている.

-- しましま

関連項目

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関連文献

  • 室田 一雄 "離散凸解析の考えかた 最適化における離散と連続の数理" 共立出版 (2007)
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  • 室田 一雄 "離散凸解析" 共立叢書 現代数学の潮流, 共立出版 (2001)
    Amazon.co.jpへのリンク:
  • 文献1
    M.Narasimhan, N.Jojic, and J.Bilmes, "Q-Clustering", NIPS18 (2006)
  • 文献2
    A.Krause and C.Guestrin "Near-optimal Nonmyopic Value of Information in Graphical models" UAI2005

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Last-modified: 2011-07-24 (日) 23:02:24 (1964d)