因子分析 (factor analysis)

  • \(p\)次元のベクトル \(\mathbf{X}\) がモデル化される変量.\(X_1,\ldots,X_p\) のそれぞれの平均と分散は,0 と 1 に正規化してあるものとする.
  • 共通因子(common factor)は,\(\mathbf{X}\) の要素に共通する要因を表す.
    \(q\lt p\)次元のベクトル \(\mathbf{S}\).各要素平均は0.共分散行列が単位行列,すなわち,各要素の分散は1で,互いに無相関.
  • 特殊因子(specific factor)は,\(\mathbf{X}\) の各要素ごとに固有の要因を表す.
    \(q\le p\)次元のベクトル \(\mathbf{\epsilon}\).各要素の平均は0.共分散行列は対角行列,すなわち,互いに無相関.また,共通因子 \(\mathbf{S}\) と特殊因子 \(\mathbf{\epsilon}\) も無相関とする.
  • 因子負荷量(factor loadings)は,\(p\times q\) の行列 \(A\)

これらを用いて \(\mathbf{X}\) を次式でモデル化するのが因子分析(factor analysis). \[\mathbf{X}=A \mathbf{S} + \mathbf{\epsilon}\] 共通因子や特殊因子はそれぞれGauss分布モデル化され,最尤推定あてはめを行うことが多い.

また,\(\Sigma\) を \(\mathbf{X}\) の共分散行列,\(D_{\epsilon}\)を\(\epsilon_1,\ldots,\epsilon_p\)の分散を対角要素にもつ対角行列とすると \[\Sigma=A A^\top+D_{\epsilon}\] とモデル化しているとも見なせる.

だが,任意の\(p\times p\) の直交行列 (回転行列) \(R\) を用いて, \[\mathbf{X}=A \mathbf{S} + \mathbf{\epsilon}=A R^\top R \mathbf{S} + \mathbf{\epsilon}\] となり,新たな因子負荷量 \(\tilde{A}=AR^\top\) と共通因子 \(\mathbf{\tilde{S}}=R\mathbf{S}\) でもモデル化できてしまう.この不定性を回転の自由度といい解が一意に定まらない.そのため,恣意的な解析結果になりやすい.

-- しましま

関連項目

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:12:43 (2494d)