確率母関数 (probability generating function)

離散確率変数 \(X\in\{0,1,2,\ldots\}\) の確率質量関数が \(\Pr[X=j]=p_j\) のとき,\(|t|\le 1\) を満たす実数 \(t\) に対して,確率母関数は, \[G_X(t)=\mathrm{E}[t^X]=\sum_{j=0}^\infty p_j t^j\]

  • \(|t|\le 1\) ならこの無限級数は収束し,\(|t|\lt 1\) なら無限回微分可能
  • \(G_X(t)\) の \(j\)回微分導関数を \(0\) とおいたものを \(j!\) で割ると \(p_j\) になる.すなわち \[p_j=\Pr[X=j]=\frac{1}{j!}\left.\frac{d^jG_X(t)}{dt^j}\right|_{t=0}\]

-- しましま

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:13:03 (2492d)