行列式 (determinant)

行列 \(A\) の\(i\)行\(j\)列の要素を \(\{a_{ij}\}\) とする.行列式は次式 \[\sum\pm a_{1p_1} a_{2p_2}\cdots a_{np_n}\] 列の添え字を並べた \( p_1 p_2 \cdots p_n\) の全ての順列について和をとる. 和の項の符号は \( p_1 p_2 \cdots p_n\) が奇順列なら負,偶順列なら正をとる. 順列 \( 1 2 \cdots n \) の隣接する要素を置換して,\(p_1 p_2 \cdots p_n \) に変換する置換の回数が奇数なら奇順列,偶数なら偶順列.

行列 \(A\) の行列式は \(|A|\) や \(\mathrm{det}(A)\) と記す.

行列式の性質

  • \(|A^\top|=|A|\)
  • \(|AB|=|A||B|\)
  • 対角行列 \(D\) の行列式 \(|D|=d_{11}d_{22}\cdots d_{nn}\)
  • 特異行列 \(A\) の行列式は \(|A|=0\)
  • 単位行列 \(I\) の行列式は \(|I|=1\)
  • 直交行列 \(A\) の行列式は \(|A|\pm 1\)
  • \(|A^{-1}|\ne 0\)
  • \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\)

-- しましま

関連項目

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:13:11 (2487d)