Jensenの不等式 (Jensen's inequality)

確率変数 \(X\),凸関数 \(\phi(x)\),及び期待値 \(\mathrm{E}(\cdot)\) について次のJensenの不等式が成立 \[\mathrm{E}[\phi(X)]\ge\phi(\mathrm{E}[X])\]

ここで,\(\phi\) を \(-\log\) として,期待値を標本平均にとると算術平均幾何平均不等式が得られる \[\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\ge(x_1x_2\cdots x_n)^{1/n}\]

-- しましま

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Last-modified: 2015-05-29 (金) 11:33:07 (556d)