Lance-Williams updating formula

凝集型階層的クラスタリングでは,各反復で最もクラスタ間の距離が小さいクラスタ \(C_{1a}\) と \(C_{1b}\) を見つける.その後,\(C_1=C_{1a}\cup C_{1b}\) なるクラスタを生成し,この \(C_1\) と,他のクラスタ \(C_2\) との間の距離を更新する必要がある.

現在利用されている主な凝集型階層的クラスタリング手法は,この距離の更新がLance-Williams updating formula によって定数時間で距離を更新できる組み合わせ的な手法である.

\(n_i\) をクラスタ \(C_i\) 内の要素数,\(d(C_i,C_j)\) をクラスタ間の距離としたとき Lance-Williams updating formula は次式: \[d(C_1,C_2)=\alpha_{a} d(C_{1a},C_2) + \alpha_{b} d(C_{1b},C_2) + \beta d(C_{1a},C_{1b}) + \gamma |d(C_{1a},C_2)-d(C_{1b},C_2)|\] 主な凝集型階層的クラスタリング手法の係数は以下のとおり

\(\alpha_{a}\)\(\alpha_{b}\)\(\beta\)\(\gamma\)
単リンク法\(\frac{1}{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(0\)\(-\frac{1}{2}\)
完全リンク法\(\frac{1}{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(0\)\(\frac{1}{2}\)
群平均法 (UPGMA)\(\frac{n_{1a}}{n_1}\)\(\frac{n_{1b}}{n_1}\)\(0\)\(0\)
WPGMA\(\frac{1}{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(0\)\(0\)
Ward法\(\frac{n_{1a}+n_2}{n_1+n_2}\)\(\frac{n_{1b}+n_2}{n_1+n_2}\)\(-\frac{n_2}{n_1+n_2}\)\(0\)
セントロイド法 (重心法)\(\frac{n_{1a}}{n_1}\)\(\frac{n_{1b}}{n_1}\)\(-\frac{n_{1a}n_{1b}}{{n_1}^2}\)\(0\)
メジアン法\(\frac{1}{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(-\frac{1}{4}\)\(0\)

ユークリッド距離の場合には \(O(n^2)\) の計算量の,Lance-Williams updating formulaで更新できる任意の距離には \(O(n^2\log n)\) の計算量のアルゴリズムが存在する.また,アルゴリズム空間濃縮空間拡散するかは係数α,β,γの値に依存している.

-- しましま

関連項目

リンク集

関連文献

  1. 基本文献
    G.N.Lance and W.T.Williams, "A general theory of classificatory sorting strategies. I. Hierarchical systems." Computer Journal, vol.9, pp.373-80 (1967)
    GoogleScholarAll:A general theory of classificatory sorting strategies. I. Hierarchical systems
  2. Lance-Williams updating formula について詳しい
    鷲尾 泰俊, 大橋 靖雄, "多次元データの解析", シリーズ 入門 統計的方法 3, 岩波書店 (1989)

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:11:10 (2491d)