Markovの不等式 (Markov's inequality)

ある正数 \(a\) と非負の確率変数 \(X\) について次のMarkovの不等式が成立: \[\Pr[X\ge a]\le \frac{\mathrm{E}[X]}{a}\]

-- しましま

ちなみに以上の不等式を拡張すると、任意の \(s\gt0\) に対して \[\Pr[X\ge a]=\Pr[X^s\ge a^s]\le a^{-s}\mathrm{E}[X^s]\] が成り立つ。またもう少し拡張すると \[\Pr[X\ge a]\le e^{-a}\mathrm{E}[e^X]\] と指数関数で抑えることも出来るが、もっともタイトに確率の上界を評価するにはべき乗表現を用いるほうがいいことがわかる。

--nadja

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:11:12 (2488d)