Monty Hall問題 (Monty Hall problem)

ベイズの定理や確率に基づく意志決定の例として著名.

  1. Monty Hallというテレビショーで,三つのドアがあり,どれかにプレゼントが入っている.参加者は,当たりのドアをあければプレゼントが入っている.
  2. 参加者がドア A を開けると宣言する (まだ開けない).
  3. 司会者は,B のドアを開けてはずれであることを示し,参加者にこのまま A を開けるか,C を開けるか尋ねる.
  4. 参加者はどちらの選択をする方が有利か?
  • 情報を聞く前の,各ドアが当たりである事前確率はそれぞれ \(\Pr[A]=1/3\),\(\Pr[B]=1/3\),\(\Pr[C]=1/3\).
  • 当たりのドアが A, B, C であるときに,司会者がドア B を開ける確率はそれぞれ \(\Pr[b|A]=1/2\),\(\Pr[b|B]=0\),\(\Pr[b|C]=1\).
  • すると,ベイズの定理から,情報を聞いたあとに,A と C が当たりである事後確率はそれぞれ \[\Pr[A|b]=\frac{\Pr[b|A]\Pr[A]}{\Pr[b|A]\Pr[A]+\Pr[b|B]\Pr[B]+\Pr[b|C]\Pr[C]}=\frac{1/2\times1/3}{1/2\times1/3+0\times1/3+1\times1/3}=\frac{1}{3}\] \[\Pr[C|b]=\frac{\Pr[b|C]\Pr[C]}{\Pr[b|A]\Pr[A]+\Pr[b|B]\Pr[B]+\Pr[b|C]\Pr[C]}=\frac{1\times1/3}{1/2\times1/3+0\times1/3+1\times1/3}=\frac{2}{3}\]
  • よって,C を開けた方が2倍有利

-- しましま

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:11:13 (2601d)