* モーメント (積率; moment) [#e754df41]

//ここには %項目の説明を書いてください.よろしければ署名しておいてください.

*** 原点まわりのモーメント [#q8fd4b56]

確率密度関数が \(f(x)\) であるような連続確率変数 \(X\) の\(r\)次モーメント
\[\mathrm{E}[X^r]=\int_{-\infty}^{\infty}x^rf(x)dx\]

確率質量関数が \(\Pr[x]\) であるような離散確率変数 \(X\) の\(r\)次モーメント
\[\mathrm{E}[X^r]=\sum_i {x_i}^r \Pr[x_i]\]

*** 平均まわりのモーメント [#x0921100]

平均 \(\mu\) まわりの\(r\)次モーメントは
- 連続確率変数の場合:\(\mathrm{E}[(X-\mu)^r]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^rf(x)dx\)
- 離散確率変数の場合:\(\mathrm{E}[(X-\mu)^r]=\sum_i ({x_i}-\mu)^r \Pr[x_i]\)

- [[分散]]は平均まわりの2次モーメント:\(\sigma^2=\mathrm{E}[(x-\mu)^2]\)
- [[歪度]]は \((X-\mu)/\sigma\) の3次モーメント
- [[尖度]]は \((X-\mu)/\sigma\) の4次モーメント

*** 絶対モーメント [#qb4cee72]

\(\mathrm{E}[|X|^r]\) や\(\mathrm{E}[|X-\mu|^r]\) で定義される.

> -- しましま

** 関連項目 [#lfd69e28]

//英語や同義語のあとに,#brで区切って関連する項目をリストしてください.
-[[積率]]
-[[moment]]
#br
-[[確率分布]]
-[[モーメント母関数]]
-[[確率母関数]]
-[[キュムラント母関数]]
-[[特性関数]]
-[[分散]]
-[[歪度]]
-[[尖度]]
#br
-[[検索:積率 モーメント moment]]

** リンク集 [#i5be2a6c]

//関連するWWW資源があればリンクしてください.
-[[Wikipedia:Moment_(mathematics)]]
-[[MathWorld:Moment]]
-[[PlanetMath:Moment]]
-[[Wikipedia.jp:モーメント (数学)]]

** 関連文献 [#rffae8d2]

//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください.

-[[Book/統計学の基礎I(統計科学のフロンティア1)]] 第I部 5.2節
-[[Book/統計学辞典]] 第I部 3.3節
-[[Book/統計分布ハンドブック]] 第II部 2.1節

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