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*因子分析 (factor analysis) [#v2a125ff]
//ここには %項目の説明を書いてください．よろしければ署名しておいてください．
- \(p\)次元のベクトル \(\mathbf{X}\) がモデル化される変量．\(X_1,\ldots,X_p\) のそれぞれの平均と分散は，0 と 1 に正規化してあるものとする．
- 共通因子(common factor)は，\(\mathbf{X}\) の要素に共通する要因を表す．~
\(q\lt p\)次元のベクトル \(\mathbf{S}\)．各要素平均は0．共分散行列が単位行列，すなわち，各要素の分散は1で，互いに無相関．
- 特殊因子(specific factor)は，\(\mathbf{X}\) の各要素ごとに固有の要因を表す．~
\(q\le p\)次元のベクトル \(\mathbf{\epsilon}\)．各要素の平均は0．共分散行列は対角行列，すなわち，互いに無相関．また，共通因子 \(\mathbf{S}\) と特殊因子 \(\mathbf{\epsilon}\) も無相関とする．
- 因子負荷量(factor loadings)は，\(p\times q\) の行列 \(A\)
これらを用いて \(\mathbf{X}\) を次式でモデル化するのが''因子分析''(factor analysis)．
\[\mathbf{X}=A \mathbf{S} + \mathbf{\epsilon}\]
共通因子や特殊因子はそれぞれGauss分布でモデル化され，最尤推定であてはめを行うことが多い．
また，\(\Sigma\) を \(\mathbf{X}\) の共分散行列，\(D_{\epsilon}\)を\(\epsilon_1,\ldots,\epsilon_p\)の分散を対角要素にもつ対角行列とすると
\[\Sigma=A A^\top+D_{\epsilon}\]
とモデル化しているとも見なせる．
だが，任意の\(p\times p\) の直交行列 (回転行列) \(R\) を用いて，
\[\mathbf{X}=A \mathbf{S} + \mathbf{\epsilon}=A R^\top R \mathbf{S} + \mathbf{\epsilon}\]
となり，新たな因子負荷量 \(\tilde{A}=AR^\top\) と共通因子 \(\mathbf{\tilde{S}}=R\mathbf{S}\) でもモデル化できてしまう．この不定性を回転の自由度といい解が一意に定まらない．そのため，恣意的な解析結果になりやすい．
> -- しましま
**関連項目 [#if89bc74]
//英語や同義語のあとに，#brで区切って関連する項目をリストしてください．
-[[factor analysis]]
#br
-[[多変量解析]]
#br
-[[検索:因子分析]]
**リンク集 [#lba102fb]
//関連するWWW資源があればリンクしてください．
-[[因子分析>Aoki:lecture/PFA/index.html]]: 統計学自習ノート＠青木繁伸
-[[探索的因子分析リンク集>http://www.ec.kagawa-u.ac.jp/~hori/spss/factorlink.html]] @Keizo Hori
-[[FactoMineR>http://factominer.free.fr/]]：[[R]]による因子分析とデータマイニング
#br
-[[Wikipedia:Factor_analysis]]
-[[MathWorld:FactorAnalysis]]
**関連文献 [#e9217036]
//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください．
-[[Book/Principles of Data Mining]] p83
-[[Book/The Elements of Statistical Learning]] 14.6.1章
-[[Book/Pattern Recognition and Machine Learning]] 12.2.4章
![[PukiWiki]](image/ibisforest.png "[PukiWiki]")
