* 数量化3類 (quantification method 3) [#d7d93d46]

//ここには %項目の説明を書いてください.よろしければ署名しておいてください.

m人の被験者が,それぞれn個の項目について,項目に反応すれば1,そうでなければ0をとるm×n行列 \(F\) を考える.
項目をm次元ベクトル \(\mathbf{x}\),被験者をn次元ベクトル \(\mathbf{y}\) で表す.

このとき,分散 \(\frac{1}{T}\mathbf{x}^\top F\mathbf{x}=1\) と \(\frac{1}{T}\mathbf{y}^\top F\mathbf{y}=1\) の条件の下,相関 \(\frac{1}{T}\mathbf{x}^\top F\mathbf{y}\) を最大化するように,\(\mathbf{x}\) と \(\mathbf{y}\) を求める.ただし,\(T\) は \(F\) の要素の総和.

解は
-\(D_R\) は \(F\) の行の和を対角要素とする対角行列
-\(D_C\) は \(F\) の列の和を対角要素とする対角行列
-\(\mathbf{n_R}\) は行の和を要素とする列ベクトル
-\(\mathbf{n_C}\) は列の和を要素とする列ベクトル
-\(A=F {D_C}^{-1} F - \frac{1}{T}\mathbf{n_R}\mathbf{n_R}^\top\)
-\(B=D_R\)

としたとき,固有方程式 \(AX=\lambda B X\) を解く.
最大固有値は制約から必ず1になる.
二番目以降の固有値に対応するベクトル \(\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3,\ldots\) を求める.
対応する \(\mathbf{y}_i={D_C}^{-1}F\mathbf{x}\) で求める.

\(F\) の要素が1になる要素に対応する \(\mathbf{x}_i\) と \(\mathbf{y}_i\) の要素をとりだし,全部でT個の点を配置すると,近い反応項目は近くに配置される.

> -- しましま

**関連項目 [#p8525042]

//英語や同義語のあとに,#brで区切って関連する項目をリストしてください.
-[[quantification method 3]]
#br
-[[数量化1類]]
-[[数量化2類]]
-[[数量化4類]]
-[[数量化法]]
-[[多変量解析]]
-[[次元削減]]
#br
-[[検索:数量化III類 数量化3類]]

**リンク集 [#wab37be6]

//関連するWWW資源があればリンクしてください.
-[[数量化III類>Aoki:lecture/Qt/qt3.html]]:統計学自習ノート@青木繁伸
-[[数量化3類,HOMALS(等質性分析), 多重対応分析(MCA),対応分析(コレスポンデンス分析)>http://www.ec.kagawa-u.ac.jp/~hori/mva.html]] @ 堀 啓造

**関連文献 [#fde2f0ba]

//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください.
-英文の基本文献~
[[Chikio Hayashi, "On the prediction of phenomena from qualitative data and the quantification of qualitative data from the mathematico-statistical point of view" Annals of the Institute of Statistical Mathematics, vol.3, pp.69-98 (1951)>http://www.ism.ac.jp/editsec/aism/vol3.html]]~
[[GoogleScholarAll:On the prediction of phenomena from qualitative data and the quantification of qualitative data from the mathematico-statistical point of view]]
-[[Book/統計学辞典]] III章 4.2.3節

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