* 確率母関数 (probability generating function) [#v70c37aa]

//ここには %項目の説明を書いてください.よろしければ署名しておいてください.

離散確率変数 \(X\in\{0,1,2,\ldots\}\) の確率質量関数が \(\Pr[X=j]=p_j\) のとき,\(|t|\le 1\) を満たす実数 \(t\) に対して,確率母関数は,
\[G_X(t)=\mathrm{E}[t^X]=\sum_{j=0}^\infty p_j t^j\]
- \(|t|\le 1\) ならこの無限級数は収束し,\(|t|\lt 1\) なら無限回微分可能
- \(G_X(t)\) の \(j\)回微分導関数を \(0\) とおいたものを \(j!\) で割ると \(p_j\) になる.すなわち
\[p_j=\Pr[X=j]=\frac{1}{j!}\left.\frac{d^jG_X(t)}{dt^j}\right|_{t=0}\]

> -- しましま

** 関連項目 [#a5697e42]

//英語や同義語のあとに,#brで区切って関連する項目をリストしてください.
-[[probability generating function]]
#br
-[[確率分布]]
-[[モーメント]]
-[[モーメント母関数]]
-[[キュムラント母関数]]
-[[特性関数]]
#br
-[[検索:確率母関数]]

** リンク集 [#h1f39cf6]

//関連するWWW資源があればリンクしてください.

-[[Wikipedia:Probability-generating_function]]

** 関連文献 [#x1f7ad6c]

//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください.

-[[Book/統計学辞典]] 第I部 3.3節
-[[Book/統計分布ハンドブック]] 第II部 2.2節

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