* 逆行列 (inverse matrix) [#h480bc14]

//ここには %項目の説明を書いてください.よろしければ署名しておいてください.

-余因子を使った逆行列の表示 
\[A^{-1} = (\det A)^{-1}adj{A}\]
ただし \(adj{A}\) は余因子行列. これから,
\[\frac{\partial \log\det A}{\partial a_{ij}} = A^{-\top}\]
がわかる.\(A^{-\top}\) は転置の逆行列. 独立成分分析などで使う.  
-ブロック行列の逆行列
\[{\left(\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}\right)}^{-1} = \left(\begin{array}{cc}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1} &-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{array}\right)\]
ただし \(S = D-CA^{-1}B\) で \(A, D\), および行列全体は正方.Sherman-Morrisonの公式もこの類

> -- あかほ

*** Woodburyの公式 [#h92cf487]

\[(A+BCD)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1}DA^{-1}\]

*** 逆行列の性質 [#xb131b1f]

-\({(A^{-1})}^{-1}=A\)
-\((A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top\)
-\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
-直交行列 \(T\) について \(T^{-1}=T^\top\)
-対角行列 \(D=\left(\begin{array}{ccc}d_1&&0\\&\ddots&\\0&&d_n\end{array}\right)\) について \(D^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1/d_1&&0\\&\ddots&\\0&&1/d_n\end{array}\right)\)
- \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) について \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right)\)
ただし \(ad\ne bc\)

> -- しましま

**関連項目 [#p9d0eb73]

//英語や同義語のあとに,#brで区切って関連する項目をリストしてください.

-[[inverse matrix]]
#br
-[[Woodburyの公式]]
-[[Woodbury identity]]
#br
-[[行列]]
-[[固有値]]
-[[行列式]]
-[[Sherman-Morrisonの公式]]
-[[BLAS]]
#br
-[[検索:逆行列]]

**リンク集 [#wf607835]

//関連するWWW資源があればリンクしてください.

-[[MathWorld:MatrixInverse]]
-[[PlanetMath:MatrixInversionLemma]]
-[[Wikipedia:Inverse_matrix]]
-[[Wikipedia.jp:正則行列]]
-[[Wikipedia:Woodbury_matrix_identity]]
-[[MathWorld:WoodburyFormula]]

**関連文献 [#x20e6a4e]

//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください.

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