* Spearman順位相関係数 (Spearman's rank correlation) [#y58fab61]

//ここには %項目の説明を書いてください.よろしければ署名しておいてください.

\(n\)個のデータの対 \((x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\) の相関を測る場合.
\(x_1,\ldots,x_n\) をその値の大きさで整列した順序で \(x_i\) が位置する順位を \(r_{xi}\) で表す.\(y_i\) についても同様に \(r_{yi}\) を計算する.このとき,\((r_{x1},r_{y1}),\ldots,(r_{xn},r_{yn})\) の間のPearson相関係数がSpearman順位相関係数となる.
これはSpearman ρとも呼ばれる.

同順位がない場合は
\[\rho=1-\frac{6\sum_{i=1}^n (r_{xi}-r_{yi})^2}{n(n^2-1)}\]
で計算できる.

同順位が生じる場合は midrank を用いる.
2と3位の対象が同じ値ならば,これらの対象に平均順位 (2+3)/2=2.5位を与える.
この midrank を用いて,Pearson相関係数を求めると,同順位がある場合のSpearman順位相関係数となる.

二つのランダムな順序の間のSpearman順位相関係数 ρの分布は,
n>35 程度ならば,ρは分散が 1/(n-1) の正規分布で近似できる.
n>10 程度ならば,
\[t_{n-2}=\frac{\rho\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-\rho^2}}\]
は,自由度 df=n-2 のt分布に従う.これを用いてノンパラメトリックな相関の検定が可能.

> -- しましま

**関連項目 [#tb4ecd4b]

//英語や同義語のあとに,#brで区切って関連する項目をリストしてください.
-[[Spearman's rank correlation]]
-[[Spearman ρ]]
-[[Spearman's ρ]]
#br
-[[順位相関係数]]
-[[Kendall順位相関係数]]
-[[Danielsの不等式]]
-[[Durbin-Stuartの不等式]]
-[[順序の確率分布]]
-[[順序の距離]]
-[[ノンパラメトリック]]
-[[ロバスト推定]]
#br
-[[検索:Spearman順位相関係数 スピアマン順位相関係数]]

**リンク集 [#v5a11c35]

//関連するWWW資源があればリンクしてください.
-[[Wikipedia:Spearman's_rank_correlation_coefficient]]
-[[Wikipedia.jp:スピアマンの順位相関係数]]

**関連文献 [#b231b5b4]

//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください.

-基本文献~
M.Kendall and J.D.Gibbons, "Rank Correlation Methods", Oxford University Press, fifth edition (1990)
-[[Book/Analyzing and Modeling Rank Data]]
-[[Book/統計学辞典]] III章 2.2.4節

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