\(p,q\lt 1\) は \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\) とする. このとき,内積を \(x\cdot y\),\(L_p\)ノルムを \(||x||_p\) とするとき次のHölderの不等式が成立: \[|x\cdot y|\le||x||_p||y||_q\]
これから,確率変数 \(X\) と \(Y\) について次式も成立 \[\mathrm{E}[|XY|]\le \Bigl(\mathrm{E}[|X|^p]\Bigr)^{1/p}\Bigl(\mathrm{E}[|X|^q]\Bigr)^{1/q}\]
\(p=q=2\) のときCauchy-Schwarzの不等式.
-- しましま