ファジィc-means法

ファジィc-means法 (fuzzy c-means method)†

k-means法のように，各事例 \(\mathbf{x}_i\) をクラスタ \(k\) のいずれか一つに割り当てるのではなく，\(c\)個のクラスタに係数 \(u_{ki}\) に応じて割り当てる．

ベクトルで表現されたデータ \(\mathbf{x}_i\) の集合である入力に対し，次の目的関数を最小化する分割最適化クラスタリング \[\mathrm{Err}\Bigl(\{u_{ki}\},\{\boldsymbol{\mu}_{k}\}\Bigr)=\sum_{k=1}^c\;\sum_{i=1}^N\;(u_{ki})^m{\|\mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu}_k\|}^2\] ただし，\(\boldsymbol{\mu}_k\) はクラスタ \(k\) の中心を表し，\(\|\cdot\|\) はユークリッドノルム，\(m\gt1\) は割り当てのファジィさを決めるパラメータで，\(c\) はクラスタ数のパラメータ．

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アルゴリズム †

初期化：\(\{u_{ki}\}\) をランダムに初期化
現在の \(\{u_{ki}\}\) を用いて，各クラスタの中心 \(\boldsymbol{\mu}_k\) を次式で計算 \[\boldsymbol{\mu}_k=\frac{\sum_i^N (u_{ki})^m \mathbf{x}_i}{\sum_i^N (u_{ki})^m}\]
前ステップで計算した中心 \(\{\boldsymbol{\mu}_k\}\) を用いて，事例 \(\mathbf{x}_i\) のクラスタ \(k\) への割り当てを次式で更新 \[u_{ki}=\Biggl[\sum_j^c \biggl(\frac{\|\mathbf{x}_i-\boldsymbol{\mu}_k\|}{\|\mathbf{x}_i-\boldsymbol{\mu}_j\|}\biggr)^{\frac{2}{m-1}}\Biggr]^{-1}\]
前の反復と比べて \(\{u_{ki}\}\) や \(\{\boldsymbol{\mu}_k\}\) の変化が十分に小さくなれば停止．そうでなければステップ2に戻る．