- 余因子を使った逆行列の表示
\[A^{-1} = (\det A)^{-1}adj{A}\]
ただし \(adj{A}\) は余因子行列． これから，
\[\frac{\partial \log\det A}{\partial a_{ij}} = A^{-\top}\]
がわかる．\(A^{-\top}\) は転置の逆行列． 独立成分分析などで使う．
- ブロック行列の逆行列
\[{\left(\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}\right)}^{-1} = \left(\begin{array}{cc}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1} &-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{array}\right)\]
ただし \(S = D-CA^{-1}B\) で \(A, D\), および行列全体は正方．Sherman-Morrisonの公式もこの類
-- あかほ
\[(A+BCD)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1}DA^{-1}\]
- \({(A^{-1})}^{-1}=A\)
- \((A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top\)
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
- 直交行列 \(T\) について \(T^{-1}=T^\top\)
- 対角行列 \(D=\left(\begin{array}{ccc}d_1&&0\\&\ddots&\\0&&d_n\end{array}\right)\) について \(D^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1/d_1&&0\\&\ddots&\\0&&1/d_n\end{array}\right)\)
- \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) について \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right)\)
ただし \(ad\ne bc\)
-- しましま
関連項目†
リンク集†
関連文献†
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