*  三角不等式 (triangle inequality) [#ze4bbd48]

//ここには %項目の説明を書いてください.よろしければ署名しておいてください.

通常の三角不等式は,[[距離]]やノルムについて定義される.

距離関数 \(d(\mathbf{x},\mathbf{y})\) については
\[d(\mathbf{x},\mathbf{y}){\le}d(\mathbf{x},\mathbf{z})+d(\mathbf{z},\mathbf{y})\]
ノルムについては
\[||\mathbf{x}+\mathbf{y}||\le||\mathbf{x}||+||\mathbf{y}||\]
その他,一般の関数についても定義される.
\[f(x,y)\le f(x,z)+f(z,y)\]
例えば,関数 \(f\) が 0/1損失 の損失関数などの場合に三角不等式は成立する

\(\alpha\ge0\) について,
\(\alpha\)-三角不等式 (\(\alpha\)-triangle inequality) は次式で定義される.
\[f(x,y)\le\alpha(f(x,z)+f(z,y))\]
上記の通常の不等式は1-三角不等式にあたる.
二乗損失 \(f(x,y)=(x-y)^2\) では通常の三角不等式が成立しないが,2-三角不等式なら成立する.

> -- しましま

** 関連項目 [#a2b37c0c]

//英語や同義語のあとに,#brで区切って関連する項目をリストしてください.
-[[triangle inequality]]
#br
-[[不等式]]
-[[距離]]
-[[損失関数]]
#br
-[[検索:三角不等式]]

** リンク集 [#s4b65098]

//関連するWWW資源があればリンクしてください.
-[[Wikipedia:Triangle_inequality]]
-[[MathWorld:TriangleInequality]]
-[[MathWorld:TriangleInequalities]]
-[[PlanetMath:TriangleInequality]]
-[[Wikipedia.jp:三角不等式]]

** 関連文献 [#c9be2a8f]

//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください.

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