* 相関係数 (correlation coefficient) [#z01ea37a]

//ここには %項目の説明を書いてください.よろしければ署名しておいてください.

-二つの確率変数の間の関連度合いを表す尺度 \(\rho\) で,
\(-1\le\rho\le1\) を満たすように定義したものである.
-Web で「相関係数」を調べる人は多い.
-単に相関係数と言えば,Pearsonの積率相関係数
\[\rho_P=\frac{\mathrm{E}_{X,Y}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]}{\sqrt{\mathrm{E}_X[(X-\mu_X)^2]}\sqrt{E_Y[(Y-\mu_Y)^2]}}\]
を指す. ただし \(\mu_X=E_X[X], \mu_Y=E_Y[Y]\)
-\(Y=a X+b\) のような線形の関係があるとき,\(0<a\)なら \(\rho_P=1\), \(a<0\) なら \(\rho_P=-1\) となる.
-\(\rho_P\)は二つのベクトルの間のなす角の cos とみなすことができる.~
--サンプルから計算される相関係数の場合が簡単で,サンプルからそれぞれの平均値を引いた \(X\) のベクトルと \(Y\) のベクトルの間の内積をそれらの長さで割ったものになっている.
--一般の場合は \(E_{X,Y}\)で定義される内積によって確率変数の間の内積を定義すれば同様.
-\(X, Y\) が結合正規分布のとき,その密度関数は
\[p(X,Y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho_P^2}}\exp\biggl(-\frac{(X-\mu_X)^2-2\rho_P (X-\mu_X) (Y-\mu_Y)+(Y-\mu_Y)^2}{2(1-\rho_P^2)}\biggr)\]
と書け,\(X, Y\) の間の[[相互情報量]]は
\[I(X; Y) = -\frac{1}{2}\ln(1-\rho_P^2)\]
で測ることができる.
-他の確率変数の影響を取り除いた相関を見るためには[[偏相関係数]]を用いる.
-順位統計に基づく相関係数については[[順位相関係数]]を参照. 非正規性の強い場合や外れ値がある場合に用いることが多い.

> --あかほ

**関連項目 [#l2d14ffb]

//英語や同義語のあとに,#brで区切って関連する項目をリストしてください.

-[[correlation]]
-[[Pearson相関係数]]
-[[Pearson's correlation]]
#br
-[[順位相関係数]]
-[[偏相関係数]]
-[[正規分布]]
-[[回帰分析]]
-[[相互情報量]]
#br
-[[検索:相関係数 correlation]]

**リンク集 [#o77fb014]

//関連するWWW資源があればリンクしてください.
-[[NumericalRecipes:c14-5]] Linear Correlation
-[[RjpWiki:超訳:相関係数の検定]]
#br
-[[Wikipedia:Correlation]]
-[[MathWorld:CorrelationCoefficient]]

**関連文献 [#y68c2319]

//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください.

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