* Laplace近似 (Laplace approximation) [#d8b6b340]

//ここには %項目の説明を書いてください.よろしければ署名しておいてください.

次の確率密度
\[p(\mathbf{x})=\frac{f(\mathbf{x})}{\int f(\mathbf{x})d\mathbf{x}}\]
を近似する方法.
分母の積分が困難なときに,関数 \(f(\mathbf{x})\) を極大にする \(\mathbf{x}_0\) を中心とする正規分布で近似.

\(\ln f(\mathbf{x})\) を2次の項まで \(\mathbf{x}_0\) の周囲で展開して
\[\ln f(\mathbf{x})\approx \ln f(\mathbf{x}_0)-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^\top A(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)\]
ただし,\(A\) は2階のヘシアンで \(\mathbf{x}=\mathbf{x}_0\) での値
\[A=-\nabla\nabla\ln f(\mathbf{x})\,|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}_0}\]

このとき \(p(\mathbf{x})\) を,平均 \(\mathbf{x}_0\),共分散行列が \(A^{-1}\) の多変量正規分布で近似する.

> -- しましま

**関連項目 [#ga099906]

//英語や同義語のあとに,#brで区切って関連する項目をリストしてください.
-[[Laplace approximation]]
#br
-[[ベイズ推定]]
#br
-[[検索:Laplace近似 ラプラス近似]]

**リンク集 [#k7a8b4d5]

//関連するWWW資源があればリンクしてください.

**関連文献 [#w0be940f]

//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください.

-[[Book/Pattern Recognition and Machine Learning]] 4.4章
-[[Book/Information Theory, Inference, and Learning Algorithms]] 27章

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