* Markovの不等式 (Markov's inequality) [#fa18969e]

//ここには %項目の説明を書いてください.よろしければ署名しておいてください.

ある正数 \(a\) と非負の確率変数 \(X\) について次のMarkovの不等式が成立:
\[\Pr[X\ge a]\le \frac{\mathrm{E}[X]}{a}\]

> -- しましま


ちなみに以上の不等式を拡張すると、任意の \(s\gt0\) に対して
\[\Pr[X\ge a]=\Pr[X^s\ge a^s]\le a^{-s}\mathrm{E}[X^s]\]
が成り立つ。またもう少し拡張すると
\[\Pr[X\ge a]\le e^{-a}\mathrm{E}[e^X]\]
と指数関数で抑えることも出来るが、もっともタイトに確率の上界を評価するにはべき乗表現を用いるほうがいいことがわかる。

>--nadja

**関連項目 [#l7ef6767]

//英語や同義語のあとに,#brで区切って関連する項目をリストしてください.
-[[Markov's inequality]]
#br
-[[不等式]]
#br
-[[検索:Markovの不等式 マルコフの不等式]]

**リンク集 [#e2416792]

//関連するWWW資源があればリンクしてください.
-[[Wikipedia:Markov's_inequality]]
-[[MathWorld:MarkovsInequality]]
-[[PlanetMath:MarkovsInequality]]

**関連文献 [#n4b5863a]

//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください.

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