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* 期待値 (expectation) [#r308f812]

//ここには %項目の説明を書いてください．よろしければ署名しておいてください．

*** 確率変数が離散の場合 [#g3da7866]
-\(X\) が値 \(x_1,\ldots,x_n\) をとる離散確率変数の場合，その期待値は\(E[X]=\sum_i^n x_i \Pr[x_i]\)
-\(x_i\) の関数 \(f(x_i)\) について\(E[f(X)]=\sum_i^n f(x_i) \Pr[x_i]\)

*** 確率変数が連続の場合 [#h4c42dc1]
-\(X\) が連続確率変数の場合，その期待値は \(E[X]=\int x \Pr[x_i] dx\)
-\(x\) の関数 \(f(x)\) について \(E[f(X)]\) は \(E[f(X)]=\int f(x) \Pr[x_i] dx\)

*** 期待値の記号 [#hf3bfc10]

-\(E_X[f(X,Y)]\) は，\(X\) についての周辺確率 \(\Pr[X]\) に関する期待値  \(\int f(x,Y) \Pr[x] dx\) を表す．
-\(E[f(X,Y)]\) は，全ての確率変数，すなわち \(X\) と \(Y\) の結合確率 \(\Pr[X,Y]\) に関する期待値 \(\int f(x,y) \Pr[x,y] dx dy\) を表す．すなわち \(E[f(X,Y)]=E_{X,Y}[f(X,Y)]\)．
-\(X\) を \(\langle X\rangle\) と書く記法もある．

*** その他 [#ae09bb6b]
- 線形性が成り立つ: \(E[a X + b Y]=a E[X] + b E[Y]\)．この性質を使って，[[分散]]は次のように変形できる：~
\(E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-2E[X E[X]]+E[E^2[X]]=E[X^2]-2E^2[X]+E^2[X]=E[X^2]-E^2[X]\)

>-- しましま

**関連項目 [#g0192491]

//英語や同義語のあとに，#brで区切って関連する項目をリストしてください．

-[[expectation]]
-[[expected value]]
#br
-[[条件付期待値]]
-[[平均]]
-[[分散]]
-[[歪度]]
-[[尖度]]
-[[モーメント]]
-[[モーメント母関数]]
-[[ベイズ推定]]
#br
-[[検索:期待値 expectation]]

**リンク集 [#f22eef44]

//関連するWWW資源があればリンクしてください．

-[[Wikipedia:Expected_value]]
-[[MathWorld:ExpectationValue]]
-[[PlanetMath:ExpectedValue]]
-[[Wikipedia.jp:期待値]]

**関連文献 [#b73ab1a6]

//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください．

-[[Book/Pattern Recognition and Machine Learning]] 1.2.2章