* 数量化4類 (quantification method 4) [#vbebab76]

//ここには %項目の説明を書いてください.よろしければ署名しておいてください.

\(n\)個の点の間の類似度が与えられたとき,類似度の高い点を近くに,低い点を遠くに配置する方法.

点\(i,j,\;i,j=1\ldots,n,\,i\ne j\)の間の類似度を\(e_{ij}\)とする.ただし,類似度は対称 \(e_{ij}=e_{ji}\) とする.もし対称でない類似度\({e'}_{ij}\) は \(e_{ij}=e_{ji}=({e'}_{ij}+{e'}_{ji})/2\) などとして対称化すればよい.

点iをk次元ベクトル \(\mathbf{x}_i=(x_{i1},\ldots,x_{ik})\) に配置する.
このとき,\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^k {x_{ij}}^2\) が一定との制約のもと次式を最大化するように \(\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\) を定める.
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j\gt i}(-e_{ij})||\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j||^2\]
ただし,\(||\cdot||\) はEuclidノルム.

解を求めるにはまず,対角要素が \(h_{ii}=-\sum_{j=1}^n e_{ij}\) で,他は \(h_{ij}=e_{ij}\) であるような行列 \(H\) を生成.
この行列の上位k個の固有値と,それに対する固有ベクトルを求める.
すると\(\mathbf{x}_i\) は,k個の固有ベクトルのi番目の要素を取り出したものになる.

> -- しましま

**関連項目 [#hff8e1ed]

//英語や同義語のあとに,#brで区切って関連する項目をリストしてください.
-[[quantification method 4]]
#br
-[[数量化1類]]
-[[数量化2類]]
-[[数量化3類]]
-[[数量化法]]
-[[多変量解析]]
-[[多次元尺度構成法]]
#br
-[[検索:数量化IV類 数量化4類]]

**リンク集 [#s51c3d5a]

//関連するWWW資源があればリンクしてください.
-[[数量化IV類>Aoki:lecture/Qt/qt4.html]]:統計学自習ノート@青木繁伸

**関連文献 [#de42f95b]

//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください.
-英文の基本文献~
[[Chikio Hayashi, "On the prediction of phenomena from qualitative data and the quantification of qualitative data from the mathematico-statistical point of view" Annals of the Institute of Statistical Mathematics, vol.3, pp.69-98 (1951)>http://www.ism.ac.jp/editsec/aism/vol3.html]]~
[[GoogleScholarAll:On the prediction of phenomena from qualitative data and the quantification of qualitative data from the mathematico-statistical point of view]]
-[[Book/統計学辞典]] III章 4.2.4節

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