数量化4類 (quantification method 4)

\(n\)個の点の間の類似度が与えられたとき,類似度の高い点を近くに,低い点を遠くに配置する方法.

点\(i,j,\;i,j=1\ldots,n,\,i\ne j\)の間の類似度を\(e_{ij}\)とする.ただし,類似度は対称 \(e_{ij}=e_{ji}\) とする.もし対称でない類似度\({e'}_{ij}\) は \(e_{ij}=e_{ji}=({e'}_{ij}+{e'}_{ji})/2\) などとして対称化すればよい.

点iをk次元ベクトル \(\mathbf{x}_i=(x_{i1},\ldots,x_{ik})\) に配置する. このとき,\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^k {x_{ij}}^2\) が一定との制約のもと次式を最大化するように \(\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\) を定める. \[\sum_{i=1}^n\sum_{j\gt i}(-e_{ij})||\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j||^2\] ただし,\(||\cdot||\) はEuclidノルム.

解を求めるにはまず,対角要素が \(h_{ii}=-\sum_{j=1}^n e_{ij}\) で,他は \(h_{ij}=e_{ij}\) であるような行列 \(H\) を生成. この行列の上位k個の固有値と,それに対する固有ベクトルを求める. すると\(\mathbf{x}_i\) は,k個の固有ベクトルのi番目の要素を取り出したものになる.

-- しましま

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:12:51 (2492d)