* Wishart分布 (Wishart distribution) [#d423c759]

//ここには %項目の説明を書いてください.よろしければ署名しておいてください.

Wishart分布の確率密度分布は次式
\[f(\mathbf{X};\mathbf{\Sigma},n,p)=\frac{1}{Z(\mathbf{\Sigma},n)}{|\mathbf{X}|}^{\frac{n-p-1}{2}}\exp\Bigl[-\frac{1}{2}\mathrm{trace}(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{X})\Bigr]\]
ただし
-\(Z(\mathbf{\Sigma},n,p)={|\mathbf{\Sigma}|}^{\frac{n}{2}}2^{\frac{np}{2}}\Gamma_p(n/2)\)
-\(\Gamma_p(x)\)は多変量ガンマ関数
-\(\mathbf{\Sigma}\) は \(p\times p\) の正定値対称行列
-\(n \gt p - 1\)は実数で,自由度とよばれる

特徴
-多変量分布 \(N(0,\mathbf{\Sigma})\) に従う\(n\)個の\(p\)次元ベクトル\(\mathbf{x}_i\)について,\(\mathbf{X}=\sum_{i=1}^n\mathbf{x}_i\mathbf{x}_i^\top\) は自由度\(n\) のWishart分布に従う
- 期待値:\(n\mathbf{\Sigma}\)
- \(p=1\) ならカイ二乗分布に等しくなる.すなわち,Wishart分布はカイ二乗分布の多変量への拡張とみなせる.
- \(\mathbf{X}\) が \(f(\mathbf{X};\mathbf{\Sigma},n,p)\) に従うとき,\(\mathbf{Y}=\mathbf{X}^{-1}\) は''逆Wishart分布'' \(f(\mathbf{Y};\mathbf{\Sigma}^{-1},n,p)\) に従う.
- 逆Wishart分布は多変量正規分布の共分散行列の共役事前分布

> -- しましま
> -- こびとさん

** 関連項目 [#e627ab2a]

//英語や同義語のあとに,#brで区切って関連する項目をリストしてください.
-[[Wishart distribution]]
#br
-[[逆Wishart分布]]
-[[inverse Wishart distribution]]
#br
-[[確率分布]]
-[[正規分布]]
-[[多変量正規分布]]
-[[カイ二乗分布]]
#br
-[[検索:Wishart分布 ウィッシャート分布]]

** リンク集 [#h20ff4e9]

//関連するWWW資源があればリンクしてください.

-[[Wikipedia:Wishart_distribution]]
-[[Wikipedia:Inverse-Wishart_distribution]]
-[[MathWorld:WishartDistribution]]
-[[PlanetMath:WishartDistribution]]

** 関連文献 [#ub16cecd]

//この%項目%に関連する書籍や論文を紹介してください.

-[[Book/統計分布ハンドブック]] 第4部 5節
-[[Book/Pattern Recognition and Machine Learning]] Appendix B

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