Wishart分布 (Wishart distribution)

Wishart分布確率密度分布は次式 \[f(\mathbf{X};\mathbf{\Sigma},n,p)=\frac{1}{Z(\mathbf{\Sigma},n)}{|\mathbf{X}|}^{\frac{n-p-1}{2}}\exp\Bigl[-\frac{1}{2}\mathrm{trace}(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{X})\Bigr]\] ただし

  • \(Z(\mathbf{\Sigma},n,p)={|\mathbf{\Sigma}|}^{\frac{n}{2}}2^{\frac{np}{2}}\Gamma_p(n/2)\)
  • \(\Gamma_p(x)\)は多変量ガンマ関数
  • \(\mathbf{\Sigma}\) は \(p\times p\) の正定値対称行列
  • \(n \gt p - 1\)は実数で,自由度とよばれる

特徴

  • 多変量分布 \(N(0,\mathbf{\Sigma})\) に従う\(n\)個の\(p\)次元ベクトル\(\mathbf{x}_i\)について,\(\mathbf{X}=\sum_{i=1}^n\mathbf{x}_i\mathbf{x}_i^\top\) は自由度\(n\) のWishart分布に従う
  • 期待値:\(n\mathbf{\Sigma}\)
  • \(p=1\) ならカイ二乗分布に等しくなる.すなわち,Wishart分布カイ二乗分布の多変量への拡張とみなせる.
  • \(\mathbf{X}\) が \(f(\mathbf{X};\mathbf{\Sigma},n,p)\) に従うとき,\(\mathbf{Y}=\mathbf{X}^{-1}\) は逆Wishart分布 \(f(\mathbf{Y};\mathbf{\Sigma}^{-1},n,p)\) に従う.
  • 逆Wishart分布多変量正規分布の共分散行列の共役事前分布

-- しましま

-- こびとさん

関連項目

リンク集

関連文献


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Last-modified: 2017-08-22 (火) 09:28:44 (699d)