Hölderの不等式 (Hölder's inequality)

\(p,q\lt 1\) は \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\) とする. このとき,内積を \(x\cdot y\),\(L_p\)ノルムを \(||x||_p\) とするとき次のHölderの不等式が成立: \[|x\cdot y|\le||x||_p||y||_q\]

これから,確率変数 \(X\) と \(Y\) について次式も成立 \[\mathrm{E}[|XY|]\le \Bigl(\mathrm{E}[|X|^p]\Bigr)^{1/p}\Bigl(\mathrm{E}[|X|^q]\Bigr)^{1/q}\]

\(p=q=2\) のときCauchy-Schwarzの不等式

-- しましま

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:11:02 (2493d)