二値変数

二値変数 (binary variable)†

二値変数とは二つの値をとりうるカテゴリ変数．数値として扱う場合は 0/1 または +1/-1 で符号化する．

対称な二値変数：男性/女性などどちらの値も同じ重みの二値変数．男性=0，女性=1と符号化しても，男性=1，女性=0 と符号化しても類似度などが変化しないようにする．

indicatingな二値変数：ある性質(例：クエリのレコードへの適合)を持つか，持たないかという重要性に差がある二値変数．ある性質があるときを1，そうでないときを0と符号化したなら，二つの二値変数が両方とも1であるときの方が，両方とも0であるときより類似しているように符号化する．

↑

\(m\)個の0/1の値をとる二値変数のベクトル \(\mathbf{x}\) と \(\mathbf{y}\) の類似度を考える． \(i=1,\ldots,m\)について，\(x_i=1\) かつ \(y_i=1\) となる要素の数を \(a_{11}\) と定義． \(a_{01}\)，\(a_{10}\)，\(a_{00}\) も同様に定義．定義から \(a_{11}+a_{01}+a_{10}+a_{00}=m\)．

対称な二値変数ベクトルの類似度

単純一致係数 (simple matching coefficient) \[\frac{a_{11}+a_{00}}{m}\]
Sokal-Sneath係数 \[\frac{2(a_{11}+a_{00})}{a_{11}+a_{00}+m}\]
Rogers-Tanimoto係数 \[\frac{a_{11}+a_{00}}{a_{11}+a_{00}+2(a_{10}+a_{01})}\]

indicatingな二値変数ベクトルの類似度

Jaccard係数 \[\frac{a_{11}}{a_{11}+a_{10}+a_{01}}\] \(X\) と \(Y\) を，それぞれ，ベクトル \(\mathbf{x}\) と \(\mathbf{y}\) の要素が1であるものの要素の集合とすると次式でも表せる： \[\frac{|X\cap Y|}{|X\cup Y|}\] 化学・生物学分野では，これをTanimoto係数とも呼ぶこともある．これは，ベクトルの類似度 \[\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{||\mathbf{x}||+||\mathbf{y}||-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}\] を0/1の二値変数ベクトルに適用して得られる．また別に \(\frac{a_{01}}{a_{00}+a_{10}-a_{01}}\)の非類似度尺度をTanimoto係数と呼ぶこともある．
Dice係数 \[\frac{2a_{11}}{(a_{11}+a_{10})+(a_{11}+a_{01})}\]
Russell-Rao係数 \[\frac{a_{11}}{m}\]