数量化3類 (quantification method 3)

m人の被験者が,それぞれn個の項目について,項目に反応すれば1,そうでなければ0をとるm×n行列 \(F\) を考える. 項目をm次元ベクトル \(\mathbf{x}\),被験者をn次元ベクトル \(\mathbf{y}\) で表す.

このとき,分散 \(\frac{1}{T}\mathbf{x}^\top F\mathbf{x}=1\) と \(\frac{1}{T}\mathbf{y}^\top F\mathbf{y}=1\) の条件の下,相関 \(\frac{1}{T}\mathbf{x}^\top F\mathbf{y}\) を最大化するように,\(\mathbf{x}\) と \(\mathbf{y}\) を求める.ただし,\(T\) は \(F\) の要素の総和.

解は

  • \(D_R\) は \(F\) の行の和を対角要素とする対角行列
  • \(D_C\) は \(F\) の列の和を対角要素とする対角行列
  • \(\mathbf{n_R}\) は行の和を要素とする列ベクトル
  • \(\mathbf{n_C}\) は列の和を要素とする列ベクトル
  • \(A=F {D_C}^{-1} F - \frac{1}{T}\mathbf{n_R}\mathbf{n_R}^\top\)
  • \(B=D_R\)

としたとき,固有方程式 \(AX=\lambda B X\) を解く. 最大固有値は制約から必ず1になる. 二番目以降の固有値に対応するベクトル \(\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3,\ldots\) を求める. 対応する \(\mathbf{y}_i={D_C}^{-1}F\mathbf{x}\) で求める.

\(F\) の要素が1になる要素に対応する \(\mathbf{x}_i\) と \(\mathbf{y}_i\) の要素をとりだし,全部でT個の点を配置すると,近い反応項目は近くに配置される.

-- しましま

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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:12:48 (2488d)