Gumbel分布

Gumbel分布 (Gumbel distribution) †

Gumbel分布の確率密度関数は次式 \[f(x;\alpha,\beta)=\frac{1}{\beta}\exp\Bigl(-\exp\Bigl(\frac{x-\alpha}{\beta}\Bigr)+\frac{x-\alpha}{\beta}\Bigr)\]

• サンプルの最大値の分布などを扱う順序統計などで利用される
• 期待値：\(\alpha-\gamma\beta\)，分散：\(\frac{1}{6}\pi^2\beta^2\)
  ただし，\(\gamma\) は Eular-Mascheroni定数． \(\Gamma'(\cdot)\) をガンマ関数の導関数として \(\gamma=-\Gamma'(1)\)

• 分布関数が \[F(x;\alpha,\beta)=1-\exp\Bigl(-\exp\Bigl(\frac{x-\alpha}{\beta}\Bigr)\Bigr)\] なので，二重指数分布 (double exponential distribution) ともいわれる．
• 第1種極値分布 (extreme value distribution of the first kind)の別名もある．
• \(x\) について反転している定義もあるようなので 2008/05/20 にメジャーっぽい定義の方に変えました．

-- しましま

関連項目 †

• Gumbel distribution
• 二重指数分布
• double exponential distribution
• 第1種極値分布
• extreme value distribution of the first kind
   
• 確率分布
• 順序統計?
   
• 検索:Gumbel分布 ガンベル分布 二重指数分布

リンク集 †

• Wikipedia:Type-1_Gumbel_distribution
• MathWorld:GumbelDistribution
• PlanetMath:GumbelRandomVariable
• Wikipedia.jp:極値分布

関連文献 †

• Book/統計分布ハンドブック 第4部 14.2節
• Book/Analyzing and Modeling Rank Data 5.13.1節