期待値 (expectation)

確率変数が離散の場合

  • \(X\) が値 \(x_1,\ldots,x_n\) をとる離散確率変数の場合,その期待値は\(E[X]=\sum_i^n x_i \Pr[x_i]\)
  • \(x_i\) の関数 \(f(x_i)\) について\(E[f(X)]=\sum_i^n f(x_i) \Pr[x_i]\)

確率変数が連続の場合

  • \(X\) が連続確率変数の場合,その期待値は \(E[X]=\int x \Pr[x_i] dx\)
  • \(x\) の関数 \(f(x)\) について \(E[f(X)]\) は \(E[f(X)]=\int f(x) \Pr[x_i] dx\)

期待値の記号

  • \(E_X[f(X,Y)]\) は,\(X\) についての周辺確率 \(\Pr[X]\) に関する期待値 \(\int f(x,Y) \Pr[x] dx\) を表す.
  • \(E[f(X,Y)]\) は,全ての確率変数,すなわち \(X\) と \(Y\) の結合確率 \(\Pr[X,Y]\) に関する期待値 \(\int f(x,y) \Pr[x,y] dx dy\) を表す.すなわち \(E[f(X,Y)]=E_{X,Y}[f(X,Y)]\).
  • \(X\) を \(\langle X\rangle\) と書く記法もある.

その他

  • 線形性が成り立つ: \(E[a X + b Y]=a E[X] + b E[Y]\).この性質を使って,分散は次のように変形できる:
    \(E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-2E[X E[X]]+E[E^2[X]]=E[X^2]-2E^2[X]+E^2[X]=E[X^2]-E^2[X]\)

-- しましま

関連項目

リンク集

関連文献


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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:12:53 (2494d)