逆行列 (inverse matrix)

  • 余因子を使った逆行列の表示 \[A^{-1} = (\det A)^{-1}adj{A}\] ただし \(adj{A}\) は余因子行列. これから, \[\frac{\partial \log\det A}{\partial a_{ij}} = A^{-\top}\] がわかる.\(A^{-\top}\) は転置の逆行列独立成分分析などで使う.
  • ブロック行列の逆行列 \[{\left(\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}\right)}^{-1} = \left(\begin{array}{cc}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1} &-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{array}\right)\] ただし \(S = D-CA^{-1}B\) で \(A, D\), および行列全体は正方.Sherman-Morrisonの公式もこの類

-- あかほ

Woodburyの公式

\[(A+BCD)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1}DA^{-1}\]

逆行列の性質

  • \({(A^{-1})}^{-1}=A\)
  • \((A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top\)
  • \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
  • 直交行列 \(T\) について \(T^{-1}=T^\top\)
  • 対角行列 \(D=\left(\begin{array}{ccc}d_1&&0\\&\ddots&\\0&&d_n\end{array}\right)\) について \(D^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1/d_1&&0\\&\ddots&\\0&&1/d_n\end{array}\right)\)
  • \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) について \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right)\) ただし \(ad\ne bc\)

-- しましま

関連項目

リンク集

関連文献


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Last-modified: 2010-02-11 (木) 16:13:14 (2488d)