ファジィc-means法

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ファジィc-means法 (fuzzy c-means method)†

k-means法のように，各事例 $\mathbf{x}_i$ をクラスタ $k$ のいずれか一つに割り当てるのではなく， $c$ 個のクラスタに係数 $u_{ki}$ に応じて割り当てる．

ベクトルで表現されたデータ $\mathbf{x}_i$ の集合である入力に対し，次の目的関数を最小化する分割最適化クラスタリング

$\mathrm{Err}\Bigl(\{u_{ki}\},\{\boldsymbol{\mu}_{k}\}\Bigr)=\sum_{k=1}^c\;\sum_{i=1}^N\;(u_{ki})^m{\|\mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu}_k\|}^2$ ただし，

$\boldsymbol{\mu}_k$ はクラスタ

$k$ の中心を表し，

$\|\cdot\|$ はユークリッドノルム，

$m\gt1$ は割り当てのファジィさを決めるパラメータで，

$c$ はクラスタ数のパラメータ．

初期化： $\{u_{ki}\}$ をランダムに初期化
現在の $\{u_{ki}\}$ を用いて，各クラスタの中心 $\boldsymbol{\mu}_k$ を次式で計算 $\boldsymbol{\mu}_k=\frac{\sum_i^N (u_{ki})^m \mathbf{x}_i}{\sum_i^N (u_{ki})^m}$
前ステップで計算した中心 $\{\boldsymbol{\mu}_k\}$ を用いて，事例 $\mathbf{x}_i$ のクラスタ $k$ への割り当てを次式で更新 $u_{ki}=\Biggl[\sum_j^c \biggl(\frac{\|\mathbf{x}_i-\boldsymbol{\mu}_k\|}{\|\mathbf{x}_i-\boldsymbol{\mu}_j\|}\biggr)^{\frac{2}{m-1}}\Biggr]^{-1}$
前の反復と比べて $\{u_{ki}\}$ や $\{\boldsymbol{\mu}_k\}$ の変化が十分に小さくなれば停止．そうでなければステップ2に戻る．