相関ルール

相関ルール (association rule)†

アイテム集合 \(X\subseteq\mathcal{I}\) が，トランザクション \(T\) を含むとは \(X\subseteq T\) であること．

アイテム集合 \(X\subseteq\mathcal{I}\) について，\(\mathrm{count}(X)\) は，バスケットデータ \(D\)中のトランザクションで，\(X\) を含むものの個数．

\(X,Y\subseteq\mathcal{I}\) が \(X\cap Y=\emptyset\) であるとする．相関ルール(association rule)は\(X\Rightarrow Y\) の形式で，「\(X\) を含むトランザクションは \(Y\) も含む」ことを示す．論理学でいう含意にあたる． \(X\) を前提部(antecedent)，\(Y\) を結論部(consequent) と呼ぶ．

相関ルールの評価指標には次のようなものがある．

支持度 (support)：全トランザクション数に対する，\(X\) と \(Y\) とを共に含むトランザクション数の比．\(\Pr[X,Y]\) に相当． \[\mathrm{support}(X)=\frac{\mathrm{count}(X)}{|D|}\] \[\mathrm{support}(X\Rightarrow Y)=\frac{\mathrm{count}(X\cup Y)}{|D|}\]
確信度 (confidence)：\(X\) を満たすトランザクション数に対する， \(X\) と \(Y\) を共に含むトランザクション数の比．\(\Pr[Y|X]\) に相当． \[\mathrm{confidence}(X\Rightarrow Y)=\frac{\mathrm{count}(X\cup Y)}{\mathrm{count}(X)}=\frac{\mathrm{support}(X\Rightarrow Y)}{\mathrm{support}(X)}\]
リフト (lift)：\(\Pr[Y,X]/\Pr[X]\Pr[Y]\) に相当． \[\mathrm{lift}(X\Rightarrow Y)=\frac{\mathrm{confidence}(X\Rightarrow Y)}{\mathrm{support}(Y)}\]

支持度と確信度が一定以上になるような相関ルールを列挙する解析がよく行われる．例外を含むものや，バスケットデータの時系列を扱うといった拡張もある．