Wishart分布の確率密度分布は次式
\[f(\mathbf{X};\mathbf{\Sigma},n,p)=\frac{1}{Z(\mathbf{\Sigma},n)}{|\mathbf{X}|}^{\frac{n-p-1}{2}}\exp\Bigl[-\frac{1}{2}\mathrm{trace}(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{X})\Bigr]\]
ただし
- \(Z(\mathbf{\Sigma},n,p)={|\mathbf{\Sigma}|}^{\frac{n}{2}}2^{\frac{np}{2}}\Gamma_p(n/2)\)
- \(\Gamma_p(x)\)は多変量ガンマ関数
- \(\mathbf{\Sigma}\) は \(p\times p\) の正定値対称行列
- \(n \gt p - 1\)は実数で，自由度とよばれる
特徴
- 多変量分布 \(N(0,\mathbf{\Sigma})\) に従う\(n\)個の\(p\)次元ベクトル\(\mathbf{x}_i\)について，\(\mathbf{X}=\sum_{i=1}^n\mathbf{x}_i\mathbf{x}_i^\top\) は自由度\(n\) のWishart分布に従う
- 期待値：\(n\mathbf{\Sigma}\)
- \(p=1\) ならカイ二乗分布に等しくなる．すなわち，Wishart分布はカイ二乗分布の多変量への拡張とみなせる．
- \(\mathbf{X}\) が \(f(\mathbf{X};\mathbf{\Sigma},n,p)\) に従うとき，\(\mathbf{Y}=\mathbf{X}^{-1}\) は逆Wishart分布 \(f(\mathbf{Y};\mathbf{\Sigma}^{-1},n,p)\) に従う．
- 逆Wishart分布は多変量正規分布の共分散行列の共役事前分布
-- しましま
-- こびとさん
関連項目†
リンク集†
関連文献†
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